{"id":1178,"date":"2012-12-10T15:53:45","date_gmt":"2012-12-10T13:53:45","guid":{"rendered":"http:\/\/fernuni.digreb.net\/?p=1178"},"modified":"2025-11-25T22:50:09","modified_gmt":"2025-11-25T21:50:09","slug":"ti-godelscher-unvollstandigkeitssatz-lernziele-ke6-22","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/fernuni.digreb.net\/?p=1178","title":{"rendered":"TIA: G\u00f6del&#8217;scher Unvollst\u00e4ndigkeitssatz (Lernziele KE6, 4\/4)"},"content":{"rendered":"<p><strong>Update<\/strong>: inhaltlich (noch) nichts, aber als Aufbau zu KE6 entsprechend verwurstelt.<\/p>\n<p>Alle weiteren Beitr\u00e4ge findet Ihr hier:<\/p>\n<ul style=\"list-style-type: square; padding-left: 30px;\">\n<li><a href=\"https:\/\/fernuni.digreb.net\/?p=2313\">TIA: Rekursive und rekursiv-aufz\u00e4hlbare Mengen (Lernziele KE6, 1\/4)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/fernuni.digreb.net\/?p=2368\">TIA: Bild- und Projektionssatz (Lernziele KE6 2\/4)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/fernuni.digreb.net\/?p=1117\">TIA: Halte- \u00c4quivalenz- und Korrektheitsproblem, Reduzierbarkeit, Satz von Rice (Lernziele KE6, 3\/4)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/fernuni.digreb.net\/?p=1178\">TIA: G\u00f6del&#8217;scher Unvollst\u00e4ndigkeitssatz (Lernziele KE6, 4\/4)<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<p>Zwar sind dem Thema im Skript knapp vier Seiten gewidmet, ich finde aber dieser Satz hat einen eigenen Betrag verdient um nicht in den Lernzielen einfach so unterzugehen. Zun\u00e4chst: was ist ein Beweissystem?\u00a0Ein Beweissystem besteht aus Axiomen (Menge von W\u00f6rtern) und Schlussregeln, so dass man aus den Axiomen immer neue W\u00f6rter (S\u00e4tze) ableiten kann.<\/p>\n<p>Ein Beispiel davon ist die\u00a0<a href=\"http:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/Peano-Arithmetik\">Peano Arithmentik<\/a>. Axiome sind in der Regel selbstverst\u00e4ndlich und bed\u00fcrfen keiner weiteren Begr\u00fcndung. Vor allem in der Peano Arithmetik (PA) sind diese aufgrund ihrer Einfachheit sofort einleuchtend (was diese Arithmetik vor dem 2. Unvollst\u00e4ndigkeitssatz von G\u00f6del rettet, aber dazu gleich mehr). Wir k\u00f6nnen aus diesen unsere Beweise ableiten.<\/p>\n<h2>Peano Axiome<\/h2>\n<p>Es gibt 5 Peano Axiome, die f\u00fcr sich genommen -wie gesagt- selbstverst\u00e4ndlich sind:<\/p>\n<blockquote><p>1. \\(1\\) ist eine nat\u00fcrliche Zahl<\/p>\n<p>2. Jede nat\u00fcrliche Zahl \\(n\\) hat genau einen Nachfolger \\(succ(n)\\)<\/p>\n<p>3. \\(1\\) ist kein Nachfolger einer nat\u00fcrlichen Zahl<\/p>\n<p>4. Die Nachfolger zweier verschiedener nat\u00fcrlicher Zahlen sind verschieden<\/p>\n<p>5. Enth\u00e4lt eine Teilmenge \\(M \\subseteq \\mathbb{n}\\) die Zahl \\(1\\) und zu jedem Element \\(n\\) auch ihren Nachfolger \\(succ(n)\\), so gilt \\(M = \\mathbb{n}\\).<\/p><\/blockquote>\n<h2>Schlussregeln<\/h2>\n<p>Zu den Axiomen ben\u00f6tigen wir auch noch die Schlussregeln. Diese sind:<\/p>\n<blockquote><p>1.\u00a0<strong>Modus ponens<\/strong>: \\(A , (A\\Rightarrow B) \\vdash B\\). Wenn aus der Wahrheit von \\(A\\) \\(B\\) folgt und \\(A\\) liegt vor, so gilt auch \\(B\\).<\/p>\n<p>2.\u00a0<strong>Generalisierung<\/strong>: \\(A \\Rightarrow C(x) \\vdash A \\Rightarrow\\forall x_i C(x_i)\\). Wenn aus \\(A\\) folgt, dass \\(C\\) f\u00fcr ein beliebiges \\(x\\), dann gilt das auch f\u00fcr alle \\(x\\).<\/p><\/blockquote>\n<p>Aus diesen Axiomen und Schlussregeln lassen sich dann Beweise und Operationen ableiten.<\/p>\n<p><strong>Beispiel<\/strong>: Addition \\(n+1\\)<\/p>\n<p>Die Addition von \\(1\\) zu einem Wert \\(n\\) ist in der Peano Arithmetik nichts weiter als unsere Nachfolgefunktion: \\(n+1 = Succ(n)\\).<\/p>\n<p><strong>Beispiel<\/strong>: Addition \\(m+n\\), \\(n=4, m=5\\)<\/p>\n<p>Auch das k\u00f6nnen wir uns mit den Peano Axiomen problemlos herleiten, der Ansatz ist aber rekursiver Natur: \\((n+Succ(m)) = Succ(n+m)\\)<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">\\(\\begin{array}{lcl}4+5&amp;=&amp;Suc(4+4)&amp;\\mbox{rekursiv}\\\\{4+4}&amp;=&amp;Suc(4+3)&amp;\\mbox{rekursiv}\\\\{4+3}&amp;=&amp;Suc(4+2)&amp;\\mbox{rekursiv}\\\\{4+2}&amp;=&amp;Suc(4+1)&amp;\\mbox{rekursiv}\\\\{4+1}&amp;=&amp;Suc(4)&amp;\\mbox{dank oben bewiesener Addition von } n+1\\\\{Suc(4)}&amp;=&amp;5&amp;\\mbox{Teilergebnis der letzten rekursion}\\end{array}\\)<\/p>\n<p>Nun setzen wir das r\u00fcckw\u00e4rts ein. Denn \\(4+1 = Suc(4) = 5\\). Dass wissen wir ja, da wir das im vorherigen Beispiel bewiesen haben. Also k\u00f6nnen wir die \\(4+1\\) durch \\(Suc(4) = 5\\) oben in \\(Suc(4+1)\\) ersetzen. Das f\u00fchren wir dann weiter so fort. Unsere Gleichung sieht am Ende also so aus:<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">\\(4+5 = Suc(Suc(Suc(Suc(Suc(4)))))\\)<\/p>\n<p>Das aufgel\u00f6st ergibt offensichtlich (das wollte ich immer schon einmal sagen):<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">\\(4+5 = Suc(8) = 9\\).<\/p>\n<h2>Zusammenhang zum Unvollst\u00e4ndigkeitssatz<\/h2>\n<p>Nun stellen sich bei so einem Beweissystem ja zwangsl\u00e4ufig folgende Fragen:<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">1. Widerspruchsfreiheit des Systems: ist es unm\u00f6glich einen Widerspruch abzuleiten?<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">2. Vollst\u00e4ndigkeit des Systems: kann jeder wahre Satz der Zahlentheorie abgeleitet werden?<\/p>\n<p>Das damals betrachtete System war die\u00a0<a href=\"http:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/Principia_Mathematica\">Principia Mathematica<\/a>\u00a0von Russel und Whitehead. Hilbert hatte den Wunsch diese beiden Punkte in diesem System zu beweisen. Dass dieser Wunsch nur ein Wunsch bleibt, bewies Hr. G\u00f6del 1931 in seinem Unvollst\u00e4ndigkeitssatz, einem der wichtigsten S\u00e4tze der Mathematik.<\/p>\n<p>Wir definieren wieder zun\u00e4chst den\u00a0<strong>Unvollst\u00e4ndigkeitssatz<\/strong>\u00a0wortgetreu aus dem Skript:<\/p>\n<blockquote><p>1. Kein Beweissystem \\(V_i\\) ist \\(n\\)-korrekt und \\(n\\)-vollst\u00e4ndig.<\/p>\n<p>2. Es gibt eine berechenbare Funktion \\(h:\\subseteq \\mathbb{N} \\Rightarrow \\mathbb{N}\\), so dass f\u00fcr jedes \\(n\\)-korrekte Beweissystem \\(V_i\\) gilt: \\(h(i) \\notin K_\\varphi\\) und \\(&#8222;1^{h(i)} \\notin K_\\varphi&#8220; \\notin V_i\\).<\/p><\/blockquote>\n<p>Was bedeutet \\(n\\)-korrekt?\u00a0\\(n\\)-korrekt hei\u00dft soviel wie, dass wenn der Satz &#8222;<em>Eine Maschine mit der G\u00f6delnummer \\(1 ^n\\) auf sich selbst angewendet h\u00e4lt nicht, die Nummer liegt also nicht in \\(K_\\varphi\\)<\/em>&#8220; sich in dem Beweissystem \\(V_i\\) befindet und wahr ist, \u00a0das auch wirklich stimmt. Die M\u00f6glichkeit unwahre S\u00e4tze in unserem Beweissystem zu haben, w\u00e4re ja nicht unbedingt Sinn der Sache.<\/p>\n<p>Was hei\u00dft nun \\(n\\)-vollst\u00e4ndig?\u00a0\\(n\\)-vollst\u00e4ndig bedeutet, dass wenn sich \\(n\\) wirklich nicht in \\(K_\\varphi\\) befindet, wir den Satz\u00a0&#8222;<em>Eine Maschine mit der G\u00f6delnummer \\(1 ^n\\) auf sich selbst angewendet h\u00e4lt nicht, die Nummer liegt also nicht in \\(K_\\varphi\\)<\/em>&#8220; in unserem Beweissystem haben. Also genau die umgekehrte Richtung.<\/p>\n<p>Dass beides gilt, w\u00e4re unsere Wunschvorstellung f\u00fcr unser Beweissystem. Durch die Codierung der S\u00e4tze mittels \\(1^n\\) k\u00f6nnen zudem nun auch unsere Turingmaschinen drauf arbeiten und uns sagen ob sich ein Beweis \\(\\omega\\) in einem Satz \\(v\\) unseres Beweissystems wiederfinden kann oder nicht.\u00a0Man kann somit entscheiden ob ein Wort \\(\\omega\\) ein beweis eines Satzes \\(v\\) ist oder nicht.<\/p>\n<p>Damit gibt es auch eine Turing-Maschine, die das entscheiden kann. Die Kontrolle erfolgt rein syntaktisch, da hier die Bedeutung keine Rolle spielt. Formal ausgedr\u00fcckt wird gefordert:<\/p>\n<blockquote><p>\\(U_X := \\{(v,w) \\in \\Sigma^* \\times \\Sigma^*\\mid \\omega\\) ist ein Beweis f\u00fcr den Satz \\(v\\}\\) ist\u00a0<strong>rekursiv<\/strong>.<\/p><\/blockquote>\n<p>Damit ist mit dem Projektionssatz die Menge der im System \\(X\\) beweisbaren S\u00e4tze \\(T_X\\) rekursiv aufz\u00e4hlbar:<\/p>\n<blockquote><p>\\(T_X := \\{v \\in \\Sigma^* \\mid (\\exists \\omega)(v,\\omega) \\in U_X\\)\\} ist\u00a0<strong>rekursiv aufz\u00e4hlbar<\/strong>.<\/p><\/blockquote>\n<p>Was hat uns nun G\u00f6del mit seinem Unvollst\u00e4ndigkeitssatz zu dem ganzen Thema genau gesagt? Er hat uns den mathematischen Stinkefinger gezeigt. Ich bringe die umgangssprachliche Formulierung mit der Wortwahl im Skript in Verbindung um es deutlicher zu machen:<\/p>\n<blockquote><p>1. Jedes Beweissystem ist widerspr\u00fcchlich oder unvollst\u00e4ndig (umgangssprachlich) \\(\\Rightarrow\\)\u00a0Kein Beweissystem \\(V_i\\) ist \\(n\\)-korrekt und \\(n\\)-vollst\u00e4ndig (Skript)<\/p>\n<p>2. Jedes konsistente Beweissystem kann die eigene Konsistenz nicht beweisen (umgangssprachlich) \\(\\Rightarrow\\)\u00a0Es gibt eine berechenbare Funktion \\(h:\\subseteq \\mathbb{N} \\Rightarrow \\mathbb{N}\\), so dass f\u00fcr jedes \\(n\\)-korrekte Beweissystem \\(V_i\\) gilt: \\(h(i) \\notin K_\\varphi\\) und \\(&#8222;1^{h(i)} \\notin K_\\varphi&#8220; \\notin V_i\\)<\/p><\/blockquote>\n<p>Wie beweisen wir Punkt 1? Angelehnt an den\u00a0<a href=\"http:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/Beweise_der_g%C3%B6delschen_Unvollst%C3%A4ndigkeitss%C3%A4tze\">Artikel aus der Wikipedia<\/a>\u00a0zum Thema folgt nun die Skizzierung der Beweise beider S\u00e4tze.<\/p>\n<p><strong>Beweisidee zur Widerspr\u00fcchlichkeit\/Unvollst\u00e4ndigkeit<\/strong>:<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\"><em>Wenn ein Beweissystem also nicht Widerspr\u00fcchlich ist (es ist konsistent), dann ist es unvollst\u00e4ndig.\u00a0<\/em><\/p>\n<p>Um die Idee nachzuvollziehen, kann man Parallelen zum\u00a0<a href=\"http:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/L%C3%BCgner-Paradox\">Paradox des L\u00fcgners<\/a>\u00a0ziehen. Aber fangen wir mal an:<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">a) Jedem Satz im System wird eine G\u00f6delnummer zugeordnet, \u00e4hnlich unserer Nummerierung in \\(P^{(1)}\\). Diese repr\u00e4sentiert einen Satz. Aus der G\u00f6delnummer l\u00e4sst sich auch der Satz wieder ableiten.<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">b) Konstruktion der Formel \\(Beweis(x,y)\\) (seht Ihr den Zusammenhang mit der oberen Menge \\(U_x\\)?). Diese Formel ist dann wahr wenn \\(x\\) die G\u00f6delnummer des Beweises von \\(S\\) ist und \\(y\\) G\u00f6delnummer des Satzes \\(S\\) ist. Damit ist entweder \\(Beweis(x,y)\\) (\\(x\\) ist ein Beweis von \\(y\\)) \u00a0oder seine Negation \\(\\neg(Beweis(x,y))\\) (\\(x\\) ist kein Beweis von \\(y\\))\u00a0wahr.<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">c) Konstruktion der Formel \\(Beweisbar(y) = \\exists x(Beweis(x,y)\\) (es gibt ein \\(x\\), welches ein Beweis von \\(y\\) ist, damit ist \\(y\\) beweisbar). Die Formel &#8222;<em>\\(y\\) ist beweisbar<\/em>&#8220; ist also entweder wahr oder nicht.<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">d) Anwendung des Diagonallemmas (das arithmetische Konstrukt f\u00fcr die Selbstreferenz) f\u00fcr der Aussage &#8222;<em>Ich habe die Eigenschaft F<\/em>&#8222;, wobei man f\u00fcr \\(F\\) die Negation von \\(Beweisbar(y)\\), n\u00e4mlich\u00a0\\(\\neg(Beweisbar(y))\\) einsetzt. Damit bekommt man die Aussage: &#8222;<em>Meine G\u00f6delnummer ist die G\u00f6delnummer einer unbeweisbaren Forme<\/em>l&#8220; bzw. &#8222;<em>Ich bin nicht beweisbar<\/em>&#8222;. Das ist der sogenannte G\u00f6delsatz.<\/p>\n<p>Wir sehen schon, wo das hinf\u00fchrt. Nehmen wir an, \\(y\\) sei die gerade konstruierte Aussage &#8222;<em>Ich bin nicht beweisbar<\/em>&#8222;. Wenn die Aussage beweisbar w\u00e4re, so w\u00e4re \\(Beweisbar(y)\\) beweisbar. Gleichzeitig ist die Aussage \\(Beweisbar(y)\\) jedoch auch die Negation von sich selbst.\u00a0Diese Aussage ist also nicht entscheidbar und das Beweissystem \u00a0damit oder unvollst\u00e4ndig oder widerspr\u00fcchlich.\u00a0Widerspruchsfreiheit bedeutet n\u00e4mlich, dass f\u00fcr einen im System ableitbaren Satz seine Negation nicht ableitbar ist.<\/p>\n<p><strong>Beweisidee zur eigenen Inkonsistenz<\/strong>:<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\"><em>Wenn das Beweissystem konsistent ist, dann ist der Beweis der Konsistenz nicht innerhalb des Systems zu erbringen.<\/em><\/p>\n<p>F\u00fcr den 2. Satz \u00fcber die Inkonsistenz eines Systems benutzt G\u00f6del seinen ersten Satz und zeigt, dass ein System seine eigene Konsistenz nicht beweisen kann. Das geht wie folgt:<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">a) da das System lt. dem ersten Unvollst\u00e4ndigkeitssatz den G\u00f6delsatz \\(Gs\\) &#8222;<em>Ich bin nicht beweisbar<\/em>&#8220; nicht beweisen kann, ist dieser wahr.<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">b) daraus l\u00e4sst sich ableiten: \\(Konsistent(V) \\Rightarrow Gs\\). Da dieser Satz aber ebenfalls seine Negation ist, wird das System \\(V\\) dadurch inkonsistent.<\/p>\n<p>Konsistenz schlie\u00dft Widerspr\u00fcchlichkeit aus, d.h. wir brauchen ein System, wo wir unser konstruiertes \\(Beweisbar(y)\\) von oben nicht beweisen k\u00f6nnen. Da \\(Beweisbar(y)\\) ja auch die eigene Negation ist, stecken wir \u00a0wieder bei seinem Beweis in der Klemme und k\u00f6nnen die Konsistenz eines Systems (mit den mitteln des Systems) nicht beweisen. Der zweite Unvollst\u00e4ndigkeitssatz kann also nur dazu genutzt werden die Widerspr\u00fcchlichkeit, aber nicht die Widerspruchsfreiheit zu belegen.<\/p>\n<p>Im Endeffekt bedeutet es f\u00fcr uns, dass wir mit den M\u00f6glichkeiten eines Systems die Konsistenz dieses Systems nicht darstellen k\u00f6nnen. Die Frage ist hier: und wozu taugen diese Systeme nun? Wir k\u00f6nnen mit den Mitteln der Peano Arithmetik (oder eines ausdrucksschw\u00e4cheren Systems) nicht beweisen, dass die Peano Arithmetik konsistent ist. Obwohl das vielleicht erschreckend klingt, ist es nicht so tragisch wie es sich anh\u00f6rt. Den wir wissen anhand der beiden S\u00e4tze, dass die Peano Arithmetik vielleicht unvollst\u00e4ndig ist, sie ist aber dennoch durch sich selbst unbewiesen widerspruchsfrei. Warum wird das ohne einen konkreten Beweis akzeptiert? Die Axiome der PA sind zu einfach zu einfach, als dass man sie in Frage stellen k\u00f6nnte.<\/p>\n<p>Das ganze schie\u00dft aber nicht aus, dass die Widerspruchsfreiheit eines Systems von einem ausdrucksst\u00e4rkeren System bewiesen werden k\u00f6nnte. Z.B. w\u00fcrde die Widerspruchsfreiheit von PA innerhalb\u00a0von\u00a0<a href=\"http:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre\">ZF-Mengenlehre<\/a>\u00a0gezeigt werden k\u00f6nnen. Was Gerhard Gentzen 1936 auch\u00a0<a href=\"http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Gentzen%27s_consistency_proof\">getan<\/a>\u00a0hat, indem er die Hilfe der\u00a0<a href=\"http:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/Transfinite_Induktion\">transfiniten Induktion<\/a>\u00a0in Anspruch nahm.<\/p>\n<p>Ein Resultat daraus war, dass man z.B. den\u00a0<a href=\"http:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/Goodstein-Folge\">Satz von Goodstein<\/a>\u00a0in PA zwar formulieren, aber mit den Mitteln der Peano Arithmetik nicht beweisen kann, was Kriby und Paris 1982 zeigten.<\/p>\n<p>Damit haben wir mit der Peano Arithmetik ein widerspruchsfreies, aber unvollst\u00e4ndiges System. Womit wir anscheinend ganz gut leben k\u00f6nnen.<\/p>\n<p>Bei Fehlern: per Mail oder in die Kommentare. Je schneller die aus den Beitr\u00e4gen raus sind, desto weniger Schaden richten sie evtl. an. Ein Danke auch wieder an die NG vom WS12\/13 mit den vielen konstruktiven Beitr\u00e4gen.<\/p>\n<p>Nun k\u00f6nnt Ihr zur\u00fcck zum <a title=\"TIA: Halte- \u00c4quivalenz- und Korrektheitsproblem, Reduzierbarkeit, Satz von Rice (Lernziele KE6, 3\/4)\" href=\"https:\/\/fernuni.digreb.net\/?p=1117\">Beitrag 3\/4<\/a> und die formulierte Antwort zum Lernziel sicher etwas besser nachvollziehen.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Update: inhaltlich (noch) nichts, aber als Aufbau zu KE6 entsprechend verwurstelt. Alle weiteren Beitr\u00e4ge findet Ihr hier: TIA: Rekursive und rekursiv-aufz\u00e4hlbare Mengen (Lernziele KE6, 1\/4) TIA: Bild- und Projektionssatz (Lernziele KE6 2\/4) TIA: Halte- \u00c4quivalenz- und Korrektheitsproblem, Reduzierbarkeit, Satz von Rice (Lernziele KE6, 3\/4) TIA: G\u00f6del&#8217;scher Unvollst\u00e4ndigkeitssatz (Lernziele KE6, 4\/4) Zwar sind dem Thema im &hellip; <\/p>\n<p class=\"link-more\"><a href=\"https:\/\/fernuni.digreb.net\/?p=1178\" class=\"more-link\"><span class=\"screen-reader-text\">\u201eTIA: G\u00f6del&#8217;scher Unvollst\u00e4ndigkeitssatz (Lernziele KE6, 4\/4)\u201c <\/span>weiterlesen<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-1178","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-theoretische-informatik"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/fernuni.digreb.net\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/1178","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/fernuni.digreb.net\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/fernuni.digreb.net\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/fernuni.digreb.net\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/fernuni.digreb.net\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=1178"}],"version-history":[{"count":27,"href":"https:\/\/fernuni.digreb.net\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/1178\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3521,"href":"https:\/\/fernuni.digreb.net\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/1178\/revisions\/3521"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/fernuni.digreb.net\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=1178"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/fernuni.digreb.net\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=1178"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/fernuni.digreb.net\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=1178"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}